Ejercicio de Matemáticas Financieras – Prueba de conocimientos (Técnicos Banco de España 2025)
Enunciado:
Sea una operación financiera simple (un capital inicial y un capital final), en la que la entidad A valora mediante capitalización simple y la entidad B mediante capitalización compuesta.
Si el tipo de interés anual y la duración de la operación son iguales en ambas entidades, la cuantía obtenida en la entidad A:
a) Es menor que la obtenida en la entidad B si el plazo es inferior a un año.
b) Es menor que la obtenida en la entidad B si el plazo es superior a un año.
c) No está relacionada con la de la entidad B.
d) Es mayor que la obtenida en la entidad B si el plazo es superior a un año.
1. Disertación conceptual
Esta cuestión no pretende que el candidato memorice una fórmula, sino que comprenda cómo se comportan los sistemas de capitalización y cómo influyen el tiempo y el tipo de interés en el valor final de una operación financiera.
La diferencia esencial entre la capitalización simple y la compuesta radica en la forma en que se acumulan los intereses:
- En la capitalización simple, los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial.
- En la capitalización compuesta, los intereses se calculan sobre el capital inicial más los intereses generados en periodos anteriores.
El enunciado compara ambos sistemas bajo un mismo tipo de interés anual y una misma duración, por lo que el análisis debe centrarse en el efecto del tiempo sobre la acumulación.
1.1. Fórmulas básicas de capitalización
Para un capital inicial C0, un tipo de interés anual i y un plazo de t años:
-
Capitalización simple:
C_A = C0 × (1 + i × t) -
Capitalización compuesta:
C_B = C0 × (1 + i)^t
Ambas coinciden cuando t = 1, pero difieren cuando el plazo es distinto de un año.
1.2. Comparación general entre sistemas
-
Si t = 1
C_A = C_B = C0 × (1 + i)
→ Ambas entidades obtienen la misma cuantía. -
Si t < 1
En plazos fraccionarios, la capitalización simple crece linealmente (proporcional a t), mientras que la compuesta crece de forma exponencial.
Dado que la función exponencial es cóncava para valores menores que 1, se cumple que:
(1 + i)^t < 1 + i × t
→ La cuantía con capitalización simple es mayor. -
Si t > 1
La capitalización compuesta acumula intereses sobre intereses, de modo que:
(1 + i)^t > 1 + i × t
→ La cuantía con capitalización simple es menor.
Por tanto, con el mismo tipo efectivo anual, la capitalización simple genera más rentabilidad para plazos inferiores a un año y menos para plazos superiores.
Ello justifica que la opción correcta sea la b):
“Es menor que la obtenida en la entidad B si el plazo es superior a un año.”
2. Ejemplo numérico con tipo efectivo anual
Supongamos un capital inicial de 1.000 euros y un tipo efectivo anual del 10 %.
| Plazo (años) | Capitalización simple | Capitalización compuesta | Diferencia |
|---|---|---|---|
| 0,5 | 1.000 × (1 + 0,10 × 0,5) = 1.050,00 | 1.000 × (1 + 0,10)^0,5 = 1.048,81 | Simple > Compuesta |
| 1 | 1.000 × (1 + 0,10 × 1) = 1.100,00 | 1.000 × (1 + 0,10)^1 = 1.100,00 | Igual |
| 2 | 1.000 × (1 + 0,10 × 2) = 1.200,00 | 1.000 × (1 + 0,10)^2 = 1.210,00 | Compuesta > Simple |
Los resultados confirman el razonamiento teórico.
3. Importancia del tipo de interés de referencia
El razonamiento anterior es válido únicamente si el tipo de interés anual es efectivo.
Este detalle, aunque no se menciona en el enunciado, es esencial para una interpretación rigurosa.
3.1. Si el tipo es efectivo anual
La comparación es directa: ambas entidades aplican el mismo rendimiento anual efectivo.
Por tanto:
- t = 1 → cuantías iguales
- t < 1 → la simple genera más
- t > 1 → la compuesta genera más
Este es el supuesto implícito del ejercicio.
3.2. Si el tipo es nominal anual, capitalizable más de una vez al año
En la práctica bancaria, los tipos suelen expresarse como nominales anuales con determinada frecuencia de capitalización (mensual, trimestral, semestral…).
Si la entidad B aplica un tipo nominal del 10 % capitalizable trimestralmente:
- Simple:
C_A = C0 × (1 + 0,10 × t) - Compuesta:
C_B = C0 × (1 + 0,10 / 4)^(4t)
Entonces, incluso para t = 1:
C_A = 1,10 × C0
C_B = (1,025)^4 × C0 = 1,1038125 × C0
Y para t = 0,5:
C_A = 1,05 × C0
C_B = (1,025)^2 × C0 = 1,050625 × C0
En ambos casos, la capitalización compuesta produce un valor mayor.
Esto ocurre porque al capitalizar varias veces dentro del año, el tipo efectivo anual de la capitalización compuesta es superior al nominal, y la comparación deja de estar equilibrada.
3.3. Conclusión sobre el tipo de interés
La afirmación del ejercicio es estrictamente válida solo si ambas entidades aplican el mismo tipo efectivo anual y la compuesta capitaliza una vez al año.
Si los tipos fueran nominales con distinta frecuencia de capitalización, las relaciones entre cuantías cambiarían.
4. Conclusión general
| Sistema | Fórmula general | Crecimiento relativo | Resultado |
|---|---|---|---|
| Simple | C = C0 × (1 + i × t) | Lineal | Superior si t < 1 |
| Compuesta | C = C0 × (1 + i)^t | Exponencial | Superior si t > 1 |
Respuesta correcta: ✅ b) Es menor que la obtenida en la entidad B si el plazo es superior a un año.
Comentario final
Esta pregunta, habitual en la parte de Matemáticas Financieras de la prueba de conocimientos del Banco de España, pretende evaluar la comprensión conceptual de los sistemas de capitalización, más allá del uso mecánico de las fórmulas.
El candidato debe identificar las diferencias entre capitalización simple y compuesta, comprender su comportamiento según la duración y, sobre todo, reconocer las hipótesis implícitas del enunciado: igualdad de tipo efectivo y de horizonte temporal.
Aunque el ejercicio se formula en términos teóricos, el razonamiento correcto exige entender el trasfondo conceptual relativo a los tipos nominales y efectivos, y la influencia de la frecuencia de capitalización en el rendimiento real de las operaciones financieras.