Ejercicio de Estadística – Prueba de conocimientos (Técnicos Banco de España 2025)
Enunciado (reformulado):
En una fábrica, la probabilidad de que una pieza sea defectuosa es p = 0,02.
Si se inspeccionan n = 100 piezas, ¿qué distribución describe mejor el número de piezas defectuosas?
a) Normal
b) Binomial
c) Poisson
d) Exponencial
1. Disertación conceptual
La clave de este ejercicio no reside en la realización de cálculos, sino en identificar correctamente el tipo de experimento aleatorio.
El objetivo es comprobar si el opositor es capaz de determinar qué modelo probabilístico se ajusta al fenómeno descrito.
La variable aleatoria considerada es:
X = número de piezas defectuosas en un conjunto de 100 inspecciones.
Esta formulación corresponde a un conteo de resultados de tipo dicotómico repetido un número fijo de veces, lo que conduce de forma natural a una distribución binomial, cuya adecuación debe justificarse.
1.1. Por qué es binomial
Una variable aleatoria se modela mediante una distribución binomial cuando se cumplen simultáneamente las siguientes condiciones:
- Número fijo de ensayos: el experimento se repite un número determinado de veces. En este caso, n = 100.
- Sucesos dicotómicos: cada ensayo solo puede producir dos resultados posibles: éxito o fracaso (en este contexto, pieza defectuosa o no defectuosa).
- Probabilidad constante: la probabilidad de éxito p es la misma en todos los ensayos. Aquí, p = 0,02.
- Independencia: el resultado de un ensayo no modifica la probabilidad de los siguientes. Es decir, el estado de una pieza no depende del de las anteriores.
Si estas cuatro condiciones se verifican, la variable número de éxitos ( X ) se distribuye como:
X ~ Binomial(n, p)
En el caso presente, la descripción encaja exactamente con este modelo:
se repite 100 veces un experimento de tipo Bernoulli (defectuosa / no defectuosa), con probabilidad constante de defecto e independencia entre ensayos.
1.2. Papel de la independencia y de la probabilidad constante
Ambos supuestos son esenciales.
- Si las piezas no fueran independientes (por ejemplo, si un fallo en la máquina provocara varios defectos consecutivos), el modelo binomial dejaría de ser adecuado.
- Si la probabilidad p variara a lo largo de la producción (por ejemplo, por calentamiento o ajuste progresivo del equipo), el modelo tampoco sería estrictamente binomial.
El enunciado, sin embargo, describe una situación teórica con condiciones homogéneas: los ensayos son independientes y p se mantiene constante. En consecuencia, la binomial es el modelo que mejor representa el fenómeno.
2. Por qué aparecen las demás opciones
El resto de alternativas no son arbitrarias. Cada una refleja una aproximación o un modelo afín, y resulta útil examinar su relación con la binomial.
2.1. Distribución Poisson: caso límite de la binomial
La Poisson es una distribución discreta que cuenta el número de sucesos raros en un intervalo o conjunto de observaciones.
Matemáticamente, se obtiene como límite de la binomial cuando:
- n → ∞ (gran número de ensayos),
- p → 0 (probabilidad pequeña),
- y el producto n·p se mantiene constante (λ = n·p).
En este ejercicio:
- n = 100,
- p = 0,02,
- n·p = 2.
Por tanto, la Poisson con λ = 2 constituye una aproximación razonable. Sin embargo, la pregunta no solicita una aproximación, sino la distribución que describe mejor el fenómeno, que sigue siendo la binomial. La Poisson deriva de la binomial, no al contrario.
2.2. Distribución normal: una aproximación válida solo bajo determinadas condiciones
La binomial puede aproximarse por una normal cuando se cumplen simultáneamente las condiciones:
- n·p ≥ 5
- n·(1−p) ≥ 5
Estas garantizan que la distribución binomial tenga una forma aproximadamente simétrica y no concentrada en los extremos.
En este caso:
- n·p = 2
- n·(1−p) = 98
El primer valor es demasiado pequeño, lo que indica una distribución fuertemente asimétrica y concentrada en los valores bajos (0, 1, 2, 3). Por ello, la aproximación normal no resulta adecuada, aunque su cálculo puede servir como referencia comparativa.
2.3. Distribución exponencial: modelo de tiempos, no de conteos
La exponencial es una distribución continua que describe el tiempo transcurrido hasta que ocurre un suceso en un proceso de Poisson continuo.
Por tanto, modela intervalos de tiempo entre eventos, no el número de eventos ocurridos en un número determinado de ensayos.
La diferencia con la normal no radica en que ambas sean continuas —de hecho, ambas lo son—, sino en el tipo de fenómeno que representan:
- la normal puede servir como aproximación de una variable discreta de conteo (cuando cumple ciertas condiciones de simetría),
- la exponencial, en cambio, no describe conteos, sino duraciones.
Aplicarla aquí carece de fundamento teórico, pues el experimento no mide tiempos ni intervalos, sino cantidades discretas de defectos.
3. Cálculos comparativos
Para ilustrar las diferencias entre modelos, se calcula la probabilidad de obtener exactamente dos piezas defectuosas, P(X=2), según cada uno de ellos.
3.1. Binomial (modelo correcto)
P(X=2) = C(100, 2) × (0,02)² × (0,98)⁹⁸
= 4.950 × 0,0004 × 0,138628
= 0,273413911570
3.2. Poisson (aproximación)
λ = n·p = 2
P(X=2) = e^(−λ) × λ² / 2!
= e^(−2) × 2² / 2
= e^(−2) × 2
= 0,270670566473
El resultado es muy próximo al binomial, lo que confirma que Poisson ofrece una buena aproximación en este tipo de casos, aunque no es el modelo exacto.
3.3. Normal (con corrección de continuidad)
μ = n·p = 2
σ² = n·p·(1−p) = 1,96
σ = 1,4
Aplicando la corrección de continuidad:
P(1,5 < X < 2,5) = Φ((2,5−2)/1,4) − Φ((1,5−2)/1,4)
= Φ(0,3571) − Φ(−0,3571)
= 0,279015138098
Aproximación aceptable, pero menos precisa que la de Poisson.
3.4. Exponencial (modelo no aplicable)
Para efectos ilustrativos, puede considerarse una exponencial con media 2, de modo que λ = 1/2.
Su densidad en x = 2 sería:
f(2) = λ × e^(−λ·2) = 0,5 × e^(−1) = 0,183939720586
El resultado se muestra únicamente con fines comparativos, pero no tiene interpretación probabilística en este contexto, ya que la exponencial no describe conteos, sino tiempos entre sucesos.
4. Comparativa final
| Distribución | Naturaleza del modelo | Resultado P(X=2) | Comentario |
|---|---|---|---|
| Binomial | Modelo directo (ensayos Bernoulli, n fijo, p constante, independientes) | 0.273413911570 | Describe con precisión el fenómeno |
| Poisson | Aproximación discreta de la binomial cuando n es grande y p pequeña (λ = n·p) | 0.270670566473 | Aproximación bastante precisa |
| Normal | Aproximación continua válida cuando np y n(1−p) son grandes | 0.279015138098 | Aproximación menos precisa (np=2) |
| Exponencial | Distribución continua de tiempos entre sucesos | 0.183939720586 | No aplicable al fenómeno descrito |
5. Conclusión
- La variable analizada representa el número de éxitos en n ensayos independientes con probabilidad constante p, lo que define una distribución binomial.
- La Poisson constituye una aproximación razonable, derivada de la binomial cuando n es grande y p pequeña.
- La normal puede aproximar la binomial en ciertos casos, pero no cuando np es pequeño, como aquí.
- La exponencial describe tiempos entre sucesos, no conteos discretos, y no resulta aplicable.
Respuesta correcta: ✅ b) Binomial
Comentario final
Preguntas de este tipo, habituales en la parte de Estadística de la prueba de conocimientos del Banco de España, no pretenden evaluar la capacidad de cálculo, sino la comprensión conceptual del experimento aleatorio y la identificación del modelo probabilístico adecuado.
El opositor debe razonar con rigor qué condiciones se cumplen (ensayos independientes, probabilidad constante, número fijo de repeticiones) y reconocer qué distribuciones pueden servir de aproximación y cuáles no, entendiendo la lógica estadística subyacente más allá del uso mecánico de fórmulas.