Ejercicio de Estadística – Prueba de conocimientos (Inspectores Banco de España 2025)
Enunciado:
En una oposición se distribuyen únicamente dos tipos de examen: tipo 1 y tipo 2.
Se sabe que un tercio de los exámenes son de tipo 1. La probabilidad de aprobar es del 60 % en el tipo 1 y del 40 % en el tipo 2.
Si sabemos que un estudiante ha aprobado, ¿cuál es la probabilidad de que haya realizado el examen tipo 2?
a) 3/5
b) 4/15
c) 4/7
d) 2/5
Respuesta correcta: ✅ c) 4/7
1. Planteamiento general
Se trata de un ejercicio clásico de probabilidad condicionada, que se resuelve aplicando el teorema de Bayes.
Definimos los eventos:
- T₁: el estudiante ha hecho el examen tipo 1
- T₂: el estudiante ha hecho el examen tipo 2
- A: el estudiante ha aprobado
Datos conocidos:
- P(T₁) = 1/3
- P(T₂) = 2/3
- P(A | T₁) = 0,6
- P(A | T₂) = 0,4
Queremos calcular P(T₂ | A): la probabilidad de que el estudiante haya hecho el examen tipo 2 sabiendo que ha aprobado.
2. Recordatorio teórico: probabilidad condicionada y teorema de Bayes
Por definición:
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
De esta relación básica se obtiene que:
P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B) = P(B | A) · P(A)
y, despejando, se llega al teorema de Bayes:
P(B | A) = [ P(A | B) · P(B) ] / P(A)
Cuando un suceso puede producirse bajo varios escenarios mutuamente excluyentes (B₁, B₂, ...), la probabilidad total de A es:
P(A) = P(A | B₁) · P(B₁) + P(A | B₂) · P(B₂) + ...
Por tanto, el teorema de Bayes no introduce un principio nuevo, sino que es simplemente una reorganización algebraica de la probabilidad condicionada que permite invertir el condicionamiento.
3. Aplicación al caso
Aplicamos la fórmula de Bayes:
P(T₂ | A) = [ P(A | T₂) · P(T₂) ] / [ P(A | T₁) · P(T₁) + P(A | T₂) · P(T₂) ]
Sustituyendo los datos del enunciado:
P(T₂ | A) = [ 0,4 × (2/3) ] / [ 0,6 × (1/3) + 0,4 × (2/3) ]
4. Cálculo paso a paso
Numerador = 0,4 × (2/3) = 0,8/3
Denominador = 0,6 × (1/3) + 0,4 × (2/3) = (0,6 + 0,8)/3 = 1,4/3
Por tanto:
P(T₂ | A) = (0,8/3) / (1,4/3) = 0,8 / 1,4 = 8/14 = 4/7
La probabilidad buscada es 4/7, equivalente a un 57,14 %.
5. Interpretación
Aunque el examen tipo 2 tiene una probabilidad de aprobar menor (40 %), hay más estudiantes que lo realizan (dos tercios).
Esto hace que, entre los aprobados, sea más probable haber hecho el tipo 2 que el tipo 1.
El resultado 4/7 refleja justamente este efecto ponderado entre proporciones y tasas de éxito.
6. Conclusión
- El problema se basa en probabilidad condicionada, y el teorema de Bayes permite invertir el sentido del condicionamiento.
- La clave está en considerar correctamente las probabilidades previas (P(T₁), P(T₂)) y las condicionadas (P(A | T₁), P(A | T₂)).
- El resultado final es P(T₂ | A) = 4/7, es decir, aproximadamente un 57 %.
Respuesta correcta: ✅ c) 4/7
Comentario final
Esta pregunta del área de Estadística de la prueba de Inspectores del Banco de España 2025 evalúa la comprensión del razonamiento probabilístico, más allá del mero cálculo.
El objetivo del examen no es memorizar fórmulas, sino demostrar que el candidato entiende que el teorema de Bayes es una aplicación directa del concepto de probabilidad condicionada y sabe interpretar correctamente el resultado en términos lógicos y cuantitativos.