Ejercicio de Matemáticas Financieras – Prueba de conocimientos (Inspectores Banco de España 2025)
Enunciado:
Señale la respuesta correcta:
a) Un bono con duración 10 años es menos sensible a la variación de tipos de interés que un bono con duración 5 años.
b) La duración de un bono perpetuo que paga 1.000 euros de cupón anual y tiene una rentabilidad hasta vencimiento del 6 % es menor de 20 años.
c) La convexidad mide la variación en el precio de un bono ante un cambio en la inflación.
d) Para aumentar la duración media de una cartera de bonos del Tesoro, una estrategia adecuada sería vender futuros sobre bonos del Tesoro.
Respuesta correcta: ✅ b) La duración de un bono perpetuo que paga 1.000 euros de cupón anual y tiene una rentabilidad hasta vencimiento del 6 % es menor de 20 años.
1. Concepto de duración
La duración de Macaulay es una medida del plazo medio ponderado en el que se recupera la inversión en un bono, considerando el valor actual de los flujos de caja (cupones e importe final).
Además, la duración modificada permite aproximar la sensibilidad del precio del bono ante cambios en el tipo de interés:
- A mayor duración, mayor sensibilidad del precio a las variaciones del tipo.
- A menor duración, menor sensibilidad.
La duración constituye, por tanto, una herramienta esencial de gestión del riesgo de tipo de interés y de estructuración de carteras.
2. Duración de un bono perpetuo
Un bono perpetuo es aquel que no devuelve el principal, sino que paga cupones anuales indefinidamente.
La fórmula de la duración de Macaulay para una perpetuidad es:
D = (1 + y) / y
donde y es la rentabilidad o tipo de interés de mercado (en tanto unitario).
En este caso:
- y = 0,06
- D = (1 + 0,06) / 0,06 = 1,06 / 0,06 = 17,6667 años
Por tanto, la duración de este bono perpetuo es de 17,67 años, efectivamente menor de 20 años.
El valor del cupón (1.000 €) no influye en la duración, ya que afecta al precio pero no al plazo medio ponderado de los flujos.
3. Análisis de las opciones
a) “Un bono con duración 10 años es menos sensible a la variación de tipos que uno con duración 5 años.”
❌ Incorrecta.
La sensibilidad del precio de un bono ante cambios en el tipo de interés aumenta con la duración.
Por tanto, un bono con duración 10 años es más sensible, no menos.
b) “La duración de un bono perpetuo que paga 1.000 euros de cupón anual y tiene una rentabilidad del 6 % es menor de 20 años.”
✅ Correcta.
La duración de una perpetuidad es (1 + y)/y = 17,67 años.
El resultado confirma que es inferior a 20 años.
c) “La convexidad mide la variación en el precio de un bono ante un cambio en la inflación.”
❌ Incorrecta.
La convexidad mide la curvatura de la relación precio–rendimiento, es decir, el cambio de la sensibilidad del precio ante variaciones del tipo de interés, no de la inflación.
d) “Para aumentar la duración media de una cartera de bonos del Tesoro, una estrategia adecuada sería vender futuros sobre bonos del Tesoro.”
❌ Incorrecta.
Vender futuros (posición corta) reduce la duración efectiva de la cartera.
Para aumentarla, la estrategia correcta sería comprar futuros (posición larga), ya que se incrementa la exposición a los movimientos de tipo de interés.
4. Conclusión
- La duración mide la sensibilidad del precio de un bono a las variaciones del tipo de interés.
- En una perpetuidad, la duración depende únicamente del tipo de rentabilidad: D = (1 + y) / y.
- Para y = 6 %, la duración es 17,67 años, menor que 20.
Respuesta correcta: ✅ b) La duración de un bono perpetuo que paga 1.000 euros de cupón anual y tiene una rentabilidad del 6 % es menor de 20 años.
Comentario final
Esta pregunta del área de Matemáticas Financieras en la prueba de Inspectores del Banco de España 2025 evalúa varios conceptos fundamentales:
- Duración como medida de sensibilidad ante variaciones de los tipos de interés.
- Duración de una perpetuidad, concepto teórico pero esencial en la valoración de bonos a largo plazo.
- Diferencia entre duración y convexidad, y su aplicación práctica en la gestión de carteras.
- Dirección de las estrategias con futuros para ajustar la duración efectiva.
La clave está en reconocer que el enunciado no exige cálculos complejos, sino comprensión conceptual precisa del vínculo entre duración, precio y tipo de interés.